重積分の難問：Feynmanの積分法とEuler和を用いた解法
まえがき
今回は、対数関数と有理関数が複雑に絡み合った重積分の難問を解説します。この積分を解くためには、積分記号下の微分（Feynmanの積分法）を用いた補題の証明から始まり、多重対数関数（Polylogarithm）や調和数を含む Euler和（Euler Sums）の高度な知識が必要になります。非常に計算量の多い問題ですが、ステップごとに分解して導出をまとめました。ぜひ一緒に手を動かしながら、積分の奥深さを楽しんで読んでみてください！
続きを読むMIT Integration Bee 2026 Finals Solutions (途中式付き)
まえがき
今回は、2026年の MIT Integration Bee (Finals) で出題された積分問題とその解答・解説をまとめました。決勝戦ということもあり、区分求積法から二重積分への帰着、極限と積分が絡む関数方程式の処理、そして Boole's Theorem を鮮やかに用いる問題など、最高峰のテクニックと閃きが要求される難問が揃っています。
それぞれの問題に対して、途中式付きで解答を記述してみました。ぜひ一緒に手を動かしながら、積分の奥深さを楽しんで読んでみてください！
続きを読むBoole's Theorem と Glasser's Master Theorem: 導出とその応用
前書き
Boole's Theorem と Glasser's Master Theorem は, 積分の応用に効く兄弟定理と呼ばれることがあります. これらの定理は, 複数の極を持つ複雑な有理関数が組み込まれた広義積分を, まるで魔法のように単純な形へと「圧縮」してしまう強力な道具です. 一見すると直感に反するチート技のようにも思えますが, その背後には複素解析, 特に上半平面の写像の性質とコーシーの積分定理が美しく機能しています. 本稿では, これら二つの定理の厳密な導出と, 実際の積分計算における応用例をまとめます.
続きを読むMIT Integration Bee 2026 Semifinals Solutions (途中式付き)
まえがき
今回は、2026年の MIT Integration Bee (Semifinals) で出題された積分問題とその解答・解説をまとめました。準決勝ともなると、ラプラスの方法（Laplace's method）やチェビシェフ多項式、ブールの定理（Boole's Theorem）、論理演算と積分の融合など、極めて高度で独創的な数学的知識が要求される難問が揃っています。
それぞれの問題に対して、途中式や解説付きで解答を記述してみました。ぜひ一緒に手を動かしながら、積分の奥深さを楽しんで読んでみてください！
Boole's Theorem の導出はこちら
続きを読むMIT Integration Bee 2026 Quarterfinals Solutions (途中式付き)
まえがき
今回は、2026年の MIT Integration Bee (Quarter Finals) で出題された積分問題とその解答・解説をまとめました。準々決勝ということもあり、ベータ関数やガンマ関数、複素積分（留数定理）など、レギュラーシーズン以上に高度な数学的知識とテクニックが要求される興味深い問題が多数出題されました。
それぞれの問題に対して、途中式付きで解答を記述してみました。ぜひ一緒に手を動かしながら、積分の奥深さを楽しんで読んでみてください！
続きを読むMIT Integration Bee 2026 Regular Season Solutions (途中式付き)
まえがき
今回は、2026年の MIT Integration Bee (Regular Season) で出題された積分問題とその解答・解説をまとめました。MIT Integration Bee は毎年MITで開催される非常にレベルの高い積分大会であり、今年も級数展開や対称性の活用（King's Property）、特殊関数の巧みな変形など、多様なテクニックが要求される興味深い問題が多数出題されました。
それぞれの問題に対して、途中式付きで解答を記述してみました。ぜひ一緒に手を動かしながら、積分の奥深さを楽しんで読んでみてください！
続きを読むフィボナッチ数列の一般化（任意初期値）
- まえがき
- 定義
- フィボナッチ数列との関係
- 一般項
まえがき
フィボナッチ数列というのは、以下の漸化式を満たす数列のことです。
ただし である。
の一般項は
で表せることが知られています。さて、もし初期値 が
ではなかったら、漸化式と一般項はどう変わるのでしょうか。
